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통계: 뉴올리언스가 동전던지기에서 0-11로 진 것은 얼마나 흔치 않은 일일까요?

Monday, November 21, 2011

Coin Toss

2011년 11월 21일, 월요일/ Dr. Ron Lasky [이력 보기]

안녕하세요?

전자제품 조립에서의 생산성, 솔더 페이스트와 솔더 사전 성형품 어플리케이션, 그리고 다른 전자제품의 조립에 대한 관심 이외에도, 제가 통계학을 가르치고 또 평생 동안 수학광으로 불려온 것을 많은 분들이 알고 계십니다. 그래서, 저는 친한 친구인 Rick Short가 뉴올리언스 세인트 축구팀이 이번 시즌의 동전던지기에서 0-11로 지고 있다는 얘기를 전해주었을 때 다소 놀랐습니다. 누구나 당연히 이것이 얼마나 이상한 일인지를 궁금하지 않겠어요?

동전에 이상이 없는 것으로 가정한다면, 매번 던질 때마다 50%의 이기고 질 확률이 있습니다. 두 번을 연속으로 질 확률은 0.5 x 0.5 = 0.25 입니다. 11번을 연속으로 질 확률은, 처음 11번 던지기에서, 0.5^11= 0.00048828125 입니다. 또는 그 기사에서 지적한 바와 같이2000 분의 1 ( 1/0.00048828125 = 2048)이지요. 와우!, 이상한 일이지요. 하지만, 32개 팀이 있고, 단지 한 팀에게만 발생한 일입니다. 자, 그렇다면 올해 한 팀에 이런 일이 일어날 가능성은 얼마나 될까요? 이 계산은 약간 더 복잡한데요. 이것을 계산하는 가장 쉬운 방법은 다음과 같은 질문을 하는 것입니다: 다른 어떤 팀에게도 이런 일이 일어나지 않을 가능성은 얼마나 될까요?

어떤 팀이라도11번을 연속으로 지지 않을 확률은, 처음 11번의 던지기에서, 1-0.00048828125 =0.99951171875입니다. 그래서 32개 팀 중 어느 누구도 11번의 연속 동전던지기에서 지지 않을 확률은 0.99951171875^32=0.98449268023이 됩니다. 적어도 한 팀이 11번을 연속으로 질 확률은 1에서 이 수치를 빼거나, 또는 1-0.98449268023= 0.015507319766, 또는 약1.55%입니다. 이 수치는 아주 낮은 것입니다. 하지만 50시즌을 살펴 볼 경우에는 어떨까요? 50시즌을 보내면서 아무도 11번의 동전던지기에서 연속으로 지지 않을 확률은0.98449268023^50 = 0.45774601688입니다. 그래서 50시즌 동안, 32개 팀이 참가하는 리그에서 어느 팀도 처음 11번의 동전던지기에서 연속으로 지지 않을 확률은 45.77%가 되고, 적어도 한 팀이 그렇게 될 확률은 54.23%가 됩니다. 이러한 확률은 50/50에 가까우니까, 50년 동안에 세인트 팀이 동전던지기에서 연속으로 지는 일을 50년에 한 번 있는 일이지요.

그 기사는 이렇게 쓰고 있습니다:

“그리고, 세인트 팀은 50-50확률의 동전던지기에서 매번 지고 있지만, 7-3의 승률로 NFL 사우스 리그의 선두를 지키고 있습니다. 동전던지기 통계학은, – 맞아요, 실제로 있습니다 – STATS LLC 에 따르면, 이번 시즌 10주차까지의 게임 전 동전던지기에서 이긴 팀이 우승하는 확률이 52.1%라고 하는데요.

STATS에 따르면, NFL 이 동전던지기에서 이긴 팀은 그 결정을 후반전까지 미룰 수 있도록 규정을 변경한 2008년 시즌부터 동전던지기의 “승자”가 본 게임도 승리하는 확률은 52.6%로 거의 비슷한 수치를 보이고 있습니다.”

만일 관심이 더 많다면, 이처럼 명백한 동전던지기 승리의 2.6% 이점에 관한 통계학적 의미를 계산할 수 있을 것으로 생각합니다. 제 추측에 따르면, 이러한 차이는 상당한 통계적 의미를 갖고 있으니까요.

노트: 일부 독자들은 왜 저의 답에 그렇게 많은 소수점 이하의 숫자들이 사용되었는지 궁금하실 겁니다. 제 경험에 따르면, 승수가 높은 숫자(32승, 그리고 50승)에서의 반올림 오류는 꽤 클 수도 있기 때문이지요. 게다가, 제가 여러 번 “처음 11번의 동전던지기”라고 언급한 것에 주목하셔야 합니다. 예를 들어 16번과 같이 더 여러 번을 던질 때에 11번을 연속으로 같은 결과를 얻을 확률이 더 높아지기 때문입니다.