La seule façon de démontrer l'absence de défauts est d'échantillonner tout le produit.

Les amis,

Examinons le cas d'un étudiant diplômé de l'Ivy University...

John Foster se sentait très chanceux. Non seulement il a obtenu son diplôme de premier cycle avec mention "summa cum laude", mais il est maintenant étudiant de troisième cycle à l'Ivy University sous la tutelle de la célèbre Professeur Patty Coleman. Alors qu’il méditait sur ces pensées agréables pensées, il était en train de travailler sur ses devoirs de statistiques avancées lorsque professeur Coleman s'est approchée de son bureau.

"Salut John, j'ai une petite mission pour vous. Mike Madigan, PDG d'ACME, a un fournisseur qui garantit l'absence de défauts dans les lots de diodes qu'ACME achète, mais quand ACME reçoit les lots, il trouve un pourcentage de défauts d'environ 1 % ou plus. Pouvez-vous contacter l'ingénieur qualité d'ACME, Frank Ianonne, pour voir comment vous pouvez l'aider ?" demanda Patty. "Nous avons abordé ce sujet dans le cours d'introduction aux statistiques que vous avez suivi le trimestre dernier", termina-t-elle.

"Bien sûr, heureux de vous aider", répondit John.
Merci, je vais au PanPac SMTA  pour la première fois et il s'y passe beaucoup de choses", dit Patty avec reconnaissance.

"Ouah", pense John, "voilà qui me met la pression ".

John contacta Frank et apprit de l'ingénieur commercial du fournisseur, Mike Gladstone, qu'ils échantillonnaient 20 diodes de chaque lot de 10 000 pièces. S'ils ne trouvent aucun défaut dans l'échantillon de 20 pièces, ils affirment qu'ils peuvent dire qu'il n'y a aucun défaut avec un niveau de confiance de 95 %, puisque 19 sur 20 représentent 95 % et qu'ils n'ont trouvé aucun défaut.

"Oups", pensa John, "ça ne peut pas être juste".

Il y réfléchit et trouva finalement ce qu'il pensait être la réponse, surtout après avoir consulté ses notes du cours par professeur Coleman. Il contacta Frank et ils organisèrent un appel Zoom avec Mike pour discuter du problème.

Lors de l'appel Zoom, après les présentations, Frank demanda à Mike comment ils déterminaient qu'un lot a zéro défaut.

"Je suis heureux d'avoir l'occasion de vous expliquer tout cela", dit Mike.

John eut l'impression que son ton était arrogant.

Mike poursuivit : "Vous conviendrez que 19 sur 20, ça fait bien 95 %, non ?"

"Oui", répondirent Frank et John.

"Donc, si nous n'obtenons aucun défaut dans 20 échantillons, nous avons zéro défaut dans le lot avec une confiance de 95 %. Si nous avions un défaut dans les 20 échantillons, nous ne pourrions pas prétendre avoir zéro défaut dans le lot", déclara Mike.

"Mike, regarde l'image que j'ai prise d'un défaut (une perle rouge) parmi 2000 perles." (Voir figure 1.) "Si je sélectionne 20 perles sur le côté gauche du récipient, comment saurais-je que le pourcentage de défaut est 0,0005 (1 sur 2000) ?" demanda John.

Figure 1. La perle rouge est un "défaut" sur 2000.

Il y eut un long silence.
"Mike, quelle est ta réponse ?" demanda Frank.

Toujours pas de réponse.

"La réponse est que la seule façon de garantir zéro défaut est d'évaluer tous les échantillons", dit John.

"Tu ne fais que brouiller les pistes avec cette photo", lâcha Mike.

"Ça me semble assez clair", a dit Frank.

"Vous, les types de l'Ivy League, vous êtes tous les mêmes. Vous embrouillez le problème avec du charabia alors que n'importe qui peut voir que j'ai raison", cria Mike.

Des insultes ont suivi et Frank a coupé le flux Zoom de Mike.

"Je comprends ton point de vue, John", dit Frank. "Mais, peux-tu me donner quelques calculs pour l'étayer ?"

"Bien sûr", répondit John.
"Considérons le cas où le pourcentage de défaut n'est pas nul, mais assez faible, disons 1 sur 10 000 dans une très grande population. Lorsque nous sélectionnons le premier échantillon, la probabilité qu'il soit bon est 0,9999 (10 000-1)/10 000). Quelle est la probabilité que le deuxième échantillon soit bon ?" demanda John.

"Ah, voyons... 0,9999, c'est bien ça ?" Demanda Frank.

"Mais quelle est la probabilité de ces deux événements ?" Demanda John.

"Attends, je me souviens d'un cours de statistiques que j'ai suivi il y a quelques années, c'est 0,9999 x 0,9999", dit Frank triomphalement.

"Et la probabilité que trois d'entre eux soient bons ?" John a demandé à nouveau.
"0,9999³", répondit Frank avec confiance.

"Disons que nous échantillonnons suffisamment de fois, disons n fois, pour que 0,9999ⁿ = 0,05. Qu'est-ce que cela nous dit ?" demande John.

"Hum, .........", répondit Frank.

"Eh bien, quelle est la probabilité que ça arrive si le pourcentage de défaut est 1 sur 10 000 ?" John demanda.

"Attends, je vois, ça n'arriverait que 0,05 ou 5 % du temps." Répondit Frank avec enthousiasme.

"Donc, disons que nous ne connaissons pas le pourcentage de défauts, que pouvons-nous dire si nous échantillonnons n et n'obtenons aucun défaut ?" demanda John.

Frank était perplexe.

"Je te le dirai, réfléchis-y et nous en reparlerons demain. Il est déjà presque 18 heures. Oh, et regarde si tu peux faire le calcul. Zoomons à 10 heures", proposa John.

Le temps a vite passé et John et Frank se retrouvèrent par Zoom.

"John, tu as failli me tuer, j'ai eu du mal à dormir, mais je crois que j'ai trouvé après avoir relu mon livre de statistiques et fait un peu de Youtube", commença Frank.

"Eh bien, si nous ne connaissons pas le pourcentage de défauts et si nous voulons voir s'il est au moins aussi bon que 1 sur 10 000 et si nous échantillonnons n de sorte que 0,9999ⁿ = 0,05, nous pourrions dire avec 0,95 (1 - 0,05) de confiance que le pourcentage de défauts est 1 sur 10 000 ou moins", déclara Frank triomphalement.

"Précisément", s'exclama John.

"Mais que vaut n ?" John demanda.

"C'est ici que je suis bloqué. Nous avons l'équation 0,9999ⁿ = 0,05, mais je ne peux pas trouver n", dit Frank, découragé.

"Indice : Logarithmes", répondit John.

"C'est ça, j'ai trouvé", dit Frank avec enthousiasme.
Frank travailla quelques minutes avec une calculatrice et trouva la solution dans la figure 2.

Figure 2. Calcul des défauts

"Donc, pour montrer avec 95 % de confiance que le pourcentage de défauts est 1 sur 10 000 ou moins, nous devrions échantillonner près de 30 000 composants et ne trouver aucun défaut", s'exclama Frank.

"En regardant l'équation, tu peux voir que si le pourcentage de défauts était nul, 0,9999 serait remplacé par 1 et comme logarithme de 1 vaut 0, il faudrait donc un échantillon infini", déclara John.

"Donc, la seule façon d'obtenir 0 défaut est d'échantillonner tous les composants", dit Frank.

"Vrai !" répondit John.

Merci,

Docteur Ron