La única forma de demostrar que hay cero defectos es muestrear todo el producto

Amigos,

Echemos un vistazo a un estudiante graduado de la Universidad Ivy

John Foster se sentía muy afortunado. No solo obtuvo su título universitario summa cum laude, sino que ahora era un estudiante graduado de la Universidad Ivy bajo la tutela de la famosa Profesora Patty Coleman. Mientras contemplaba estos pensamientos agradables, trabajaba en su tarea de estadística avanzada cuando la profesora Coleman se acercó a su escritorio.

“Oye, John, te tengo una pequeña tarea. Mike Madigan, CEO de ACME, tiene un proveedor que garantiza cero defectos en muchos de los diodos que compra ACME, sin embargo, cuando ACME recibe los lotes, se encuentran una tasa de defectos de alrededor de un 1% o más. ¿Puedes ponerte en contacto con el ingeniero de calidad de ACME, Frank Ianonne, para ver si lo puedes ayudar?”. Preguntó Patty. “Cubrimos este tema en la clase introductoria de estadística que tomaste el trimestre pasado”, terminó.

“Claro, encantado de ayudar”, respondió John.

“Gracias, iré al PanPac de SMTA por primera vez y tengo mucho que hacer allí”, dijo Patty con agradecimiento.

“Vaya”, pensó John, “siento la presión”.

John contactó a Frank y supo que el ingeniero de ventas del proveedor, Mike Gladstone, dijo que muestreaban 20 diodos de cada lote de 10.000. Si no encuentran defectos en la muestra de 20, afirman que pueden decir que hay 0 defectos con un intervalo de confianza del 95%, ya que 19 de 20 es el 95% y en su caso no se encontraron defectos.

“Vaya”, pensó John, “esto no puede estar bien”.

Pensó en esto y finalmente encontró una respuesta que le producía confianza, especialmente después de mirar las notas que tomó en la clase que mencionó la profesora Coleman. Se puso en contacto con Frank y planificaron una llamada de Zoom con Mike para discutir el tema.

En la llamada de Zoom después de las presentaciones, Frank le preguntó a Mike cómo determinan que un lote tiene cero defectos.

“Me alegra tener la oportunidad de explicarles esto”, dijo Mike.

A John le pareció que su tono era arrogante.

Mike continuó: “Bueno, estarán de acuerdo con que 19 es el 95% de 20, ¿verdad?”.

“Sí”, respondieron Frank y John.

“Entonces, si no encontramos defectos en 20 muestras, concluimos que hay cero defectos en el lote con un intervalo de confianza del 95%. Si tuviéramos un defecto en las 20 muestras, no podríamos afirmar que tenemos cero defectos en el lote”, dijo Mike.

“Mike, mira la imagen que tomé de un defecto (una cuenta roja) de 2000 cuentas”. (Ver la Figura 1).  “Si seleccioné 20 cuentas en el lado izquierdo del contenedor, ¿cómo sabría que la tasa de defectos es de 0,0005 (1 en 2000)?”, preguntó John.

Figura 1. La cuenta roja es un “defecto” de 2000.

Hubo un largo silencio.

“Mike, ¿cuál es tu respuesta?”, preguntó Frank.

Todavía no había respuesta.

“La respuesta es que la única forma de asegurar cero defectos es evaluar todas las muestras”, dijo John.

“Simplemente haces confuso el problema con esa foto”, escupió Mike.

“Me parece bastante claro “, dijo Frank.

“Todos los tipos de la Liga Ivy son iguales. Confundes el problema con lenguaje absurdo cuando cualquier idiota podría ver que tengo razón”, gritó Mike.

Siguieron groserías y Frank cortó el audio de Zoom de Mike.

“Veo tu punto John”, dijo Frank. “pero, ¿puedes darme algo de matemáticas para respaldarlo?”.

“Claro”, respondió John.

“Consideremos un caso en el que la tasa de defectos no es cero, sino bastante baja, digamos 1 de cada 10,000 en una población muy grande. Cuando seleccionamos la primera muestra, la probabilidad de que sea buena es de 0,9999 (10.000-1)/10.000). ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea buena?”. Preguntó Juan.

“Ah, veamos... 0,9999, ¿verdad?”. Frank respondió.

“Pero, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran ambos eventos?”. Preguntó Juan.

“Espera, recuerdo de una clase de estadística que tomé hace unos años, es 0,9999 x 0,9999”, dijo Frank triunfalmente.

“¿Y la probabilidad de que tres muestras seguidas sean buenas?”. Preguntó John de nuevo.

“0.99993”, respondió Frank con confianza.

“Así que digamos que muestreamos muchas veces, llamémoslo n veces, que 0,9999n = 0,05.  ¿Qué nos dice esto?”, preguntó John.

“Hmm...”, respondió Frank.

“Bueno, ¿qué tan probable es que esto suceda si la tasa de defectos es de 1 en 10.000?”. Preguntó Juan.

“Espera, ya veo, solo sucedería el 0,05 o el 5% del tiempo”. Respondió Frank emocionado.

“Entonces, digamos que no sabíamos la tasa de defectos, ¿qué podríamos decir si tomamos n muestras y no encontramos defectos? “, preguntó John.

Frank estaba perplejo.

“Te diré qué, piénsalo y volveremos mañana. Ya son casi las 6 de la tarde. Ah, y mira si puedes calcular qué número es n. Hagamos una reunión de Zoom a las 10 de la mañana”, propuso John.

El tiempo pasó rápidamente, John y Frank volvieron a reunirse en Zoom.

“John, casi me matas, tuve problemas para dormir, pero creo que tengo la respuesta después de revisar mi libro de estadística y hacer un poco de investigación en YouTube”, comenzó Frank.

“Bien, si no conociéramos la tasa de defectos y quisiéramos saber si era al menos tan buena como 1 en 10.000 y muestreamos n de modo que 0,9999n = 0,05, podríamos decir con 0,95 (1 – 0,05) de confianza en que la tasa de defectos fue de 1 en 10.000 o menos”, dijo Frank triunfalmente.

“Precisamente”, exclamó John.

“Pero, ¿qué es n?”. Preguntó John.

“Ahí es donde estoy atascado. Tenemos la ecuación 0,9999n = 0,05, pero no puedo resolver n”, dijo Frank abatido.

“Sugerencia: Logaritmos”, respondió John.

“Eso es todo, ya lo entiendo”, dijo Frank con entusiasmo.

Frank trabajó durante unos minutos con una calculadora y encontró la solución de la Figura 2.

Figura 2. El cálculo de defectos

“Entonces, para demostrar con un 95% de confianza que la tasa de defectos es de 1 en 10.000 o menos, tendríamos que muestrear casi 30.000 componentes y no encontrar defectos”, exclamó Frank.

“Al observar la ecuación, puedes ver que si la tasa de defectos fuera cero, 0,9999 sería reemplazado por 1 y el logaritmo de 1 es 0, por lo que necesitaría una muestra infinita”, dijo John.

“Entonces, la única forma de demostrar que hay cero defectos es muestrear todos los componentes”, dijo Frank.

“¡Correcto!”, respondió John.

Saludos,

Dr. Ron