Die einzige Möglichkeit, null Fehler nachzuweisen, besteht darin, alle Bauteilen zu prüfen

Leute,

lassen Sie uns schauen, was ein Studierender der Ivy University so macht …

John Foster war ein Glückspilz. Er hatte nicht nur seinen Bachelor-Abschluss mit summa cum laude bestanden, sondern war nun auch Doktorand an der Ivy University unter der Leitung der berühmten Professorin Patty Coleman. Während er diesen angenehmen Gedanken nachhing, war er mit seinen Hausaufgaben in Statistik für Fortgeschrittene beschäftigt, als Patty Coleman an seinen Schreibtisch trat.

„Hallo, John, ich habe eine kleine Aufgabe für Sie. Mike Madigan, der CEO von ACME, hat einen Lieferanten, der garantiert, dass die von ACME gekauften Diodenchargen keine Fehler aufweisen. Doch wenn ACME die Chargen prüft, stellt sich eine Fehlerquote von 1 % oder mehr heraus. Können Sie sich mit Frank Ianonne, dem Qualitätsingenieur von ACME in Verbindung setzen, um zu sehen, wie Sie helfen können?“, fragte Patty. „Wir haben dieses Thema im Einführungskurs Statistik behandelt, den Sie im letzten Semester belegt haben“, erklärte sie abschließend.

„Sicher, ich helfe gerne“, antwortete John.

„Danke, ich bin zum ersten Mal auf der PanPac der SMTA und habe dort eine Menge zu tun“, sagte Patty dankbar.

„Wow“, dachte John, „der Druck ist groß.“

John setzte sich mit Frank in Verbindung. Er erfuhr, dass der Vertriebsingenieur des Anbieters, Mike Gladstone, erklärt hatte, dass von jeder Charge mit 10.000 Teilen 20 Dioden stichprobenartig geprüft wurden. Wenn in dieser Stichprobe keine Defekte gefunden werden, könne man mit einer Konfidenz von 95 % von null Defekten ausgehen, da 19 von 20 95 % seien und man keine Defekte gefunden habe.

„Oh je“, dachte John, „das kann nicht stimmen.“

Er dachte darüber nach und kam schließlich auf eine Antwort, von der er überzeugt war, dass sie stimmte, vor allem, nachdem er sich seine Notizen aus dem von Professorin Coleman erwähnten Kurs angesehen hatte. Er setzte sich mit Frank in Verbindung und die beiden vereinbarten einen Zoom-Anruf mit Mike, um das Problem zu besprechen.

Nach der Begrüßung fragte Frank Mike, wie geprüft würde, dass eine Charge null Fehler aufweist.

„Ich bin froh, dass ich die Gelegenheit habe, Ihnen das zu erklären“, sagte Mike.

John fand, dass sein Tonfall arrogant war.

Mike fuhr fort: „Nun, Sie werden mir doch zustimmen, dass 19 von 20 95 % sind, oder?“

„Ja“, antworteten Frank und John.

„Wenn wir also bei 20 Stichproben keinen Fehler finden, haben wir mit einer Konfidenz von 95 % null Fehler in der Charge. Wenn wir einen Fehler in den 20 Stichproben finden würden, könnten wir nicht behaupten, es gäbe null Fehler in der Charge“, fügte Mike hinzu.

„Mike, schauen Sie sich das Foto an, das ich von einem Fehler (eine rote Perle) unter 2000 Perlen gemacht habe.“ (Siehe Abbildung 1.) „Wenn ich 20 Perlen auf der linken Seite des Behälters auswähle, woher weiß ich dann, dass die Fehlerquote 0,0005 (1 von 2000) beträgt?“, fragte John.

Abbildung 1. Die rote Perle ist ein „Fehler“ von 2000.

Es herrschte langes Schweigen.

„Mike, was sagen Sie dazu?“, fragte Frank.

Immer noch keine Antwort.

„Die Antwort ist, dass die einzige Möglichkeit, um null Fehler sicherzustellen, darin besteht, alle Stichproben zu prüfen“, sagte John.

„Sie bringen mit diesem Foto nur Verwirrung in das Problem“, spuckte Mike aus.

„Für mich ist das ganz klar“, sagte Frank.

„Ihr Ivy-League-Typen seid doch alle gleich. Ihr verwirrt das Thema mit Hokuspokus, obwohl jeder Dummkopf sehen kann, dass ich recht habe“, schrie Mike.

Es folgten einige Schimpfwörter und Frank unterbrach Mikes Zoom-Feed.

„Ich verstehe Ihren Standpunkt, John“, sagte Frank. „Aber können Sie mir ein paar Zahlen nennen, die das untermauern?“

„Kein Problem“, entgegnete John.
„Betrachten wir einen Fall, in dem die Fehlerquote nicht Null ist, sondern ziemlich niedrig, sagen wir 1 in 10.000 in einer sehr großen Population. Bei Auswahl der ersten Stichprobe ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie keinen Fehler aufweist, 0,9999 (10.000-1)/10.000). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Stichprobe auch keinen Fehler aufweist?“, fragte John.

„Ah, mal sehen … ebenfalls 0,9999, richtig?“, antwortete Frank.

„Doch wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten?“, fragte John.

„Warten Sie, ich erinnere mich an einen Statistikkurs, den ich vor ein paar Jahren belegt habe, es ist 0,9999 x 0,9999“, sagte Frank triumphierend.

„Und die Wahrscheinlichkeit, dass drei hintereinander keine Fehler haben?“, fragte John erneut.

 „0,9999³“, antwortete Frank.

„Nehmen wir nun an, wir nehmen so viele Stichproben, sagen wir n Stichproben, dass 0,9999ⁿ = 0,05. Was sagt uns das?“, fragte John.

„Hmm, …“, antwortete Frank.

„Nun, wie wahrscheinlich ist es, dass dies passiert, wenn die Fehlerquote 1 von 10.000 beträgt?“, fragte John.

„Moment, ich verstehe, es würde nur 0,05 mal oder 5 % der Zeit passieren“, antwortete Frank aufgeregt.

„Angenommen, wir kennen die Fehlerquote nicht, was könnten wir dann sagen, wenn wir n Stichproben prüfen und keine Fehler erhalten?“, fragte John.

Frank war ratlos.

„Ich schlage Ihnen vor, Sie denken darüber nach und wir kommen morgen darauf zurück. Es ist schon fast 18 Uhr. Oh, und versuchen Sie mal zu berechnen, was n ist. Treffen wir uns morgen um 10 Uhr per Zoom“, schlug John vor.

Die Zeit verging wie im Flug und John und Frank waren wieder am Zoomen.

„John, das Problem hat mir einfach keine Ruhe gelassen, ich konnte nicht schlafen, aber ich glaube, ich habe es, nachdem ich mein Statistikbuch durchgesehen und ein paar YouTube-Videos angeschaut habe“, begann Frank.

„Nun, wenn wir die Fehlerquote nicht kennen und sehen wollen, ob sie mindestens so gut wie 1 in 10.000 ist, und wir dann n Stichproben prüfen, sodass 0,9999ⁿ = 0,05 ist, können wir mit einer Konfidenz von 0,95 (1 - 0,05) sagen, dass die Fehlerquote 1 zu 10.000 oder weniger ist“, sagte Frank triumphierend.

„Genau“, rief John aus.

„Aber was ist n?“, fragte John.

„Das ist der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme. Wir haben die Gleichung 0,9999ⁿ = 0,05, aber ich kann n nicht lösen“, sagte Frank niedergeschlagen.

„Ein Tipp: Logarithmen“, antwortete John.

„Das ist es, ich hab's“, rief Frank begeistert aus.
Frank arbeitete einige Minuten lang mit einem Taschenrechner und kam auf die Lösung in Abbildung 2.

Abbildung 2. Die Fehlerberechnung

„Um also mit einer Konfidenz von 95 % zu zeigen, dass die Fehlerquote 1 zu 10.000 oder weniger beträgt, müssten wir fast 30.000 Bauteile stichprobenartig prüfen und keine Fehler finden“, erklärte Frank.

„Wenn man sich die Gleichung anschaut, sieht man, dass bei einer Fehlerquote von Null 0,9999 durch 1 ersetzt würde. Da der Logarithmus von 1 gleich 0 ist, bräuchte man eine unendliche Stichprobe“, sagte John.

„Die einzige Möglichkeit, 0 Fehler nachzuweisen, besteht also darin, alle Bauteile zu prüfen“, sagte Frank.

„Richtig!“, antwortete John.

Danke,

Dr. Ron