무결점을 입증하는 유일한 방법은 모든 제품을 샘플링하는 것입니다

John은 Frank에게 연락하여 공급업체의 영업 엔지니어인 Mike Gladstone이 10,000개 부품의 각 로트에서 20개의 다이오드를 샘플링하도록 말했음을 알았습니다. 그들은 20개의 표본에서 결함이 발견되지 않으면, 20개 중 19개가 95%이고 결함이 발견되지 않았기 때문에 95% 신뢰도로 0개의 결함이 있다고 말할 수 있다고 주장합니다.

여러분,

아이비대학교 대학원생을 보죠...

John Foster는 매우 운이 좋았다고 느꼈습니다. 그는 우등으로 학사 학위를 받았을 뿐만 아니라 지금은 유명한 Patty Coleman 교수의 지도 아래 아이비대학교의 대학원생이 되었습니다. 이런 유쾌한 생각을 하며 고급 통계학 숙제를 하던 중, Coleman 교수가 책상으로 다가왔습니다.

“이봐, 존, 너에게 맡길 작은 일이 있어. ACME의 CEO인 Mike Madigan은 ACME가 구매하는 많은 다이오드에서 무결점을 보장하는 공급업체가 있지만 구매한 로트를 조사하면 약 1% 이상의 불량률이 발견되고 있어. ACME의 품질 엔지니어 Frank Ianonne에게 연락하여 네가 어떻게 도움을 줄 수 있는지 물어볼 수 있겠니? 패티가 물었습니다. "지난 학기에 네가 수강한 통계 입문 수업에서 이 주제를 우리가 다뤘잖아."라고 그녀는 말했습니다.

“물론이죠. 기꺼이 돕겠습니다.”라고 John이 대답했습니다.

"고마워. SMTA의 PanPac에 처음 가는데 많은 일이 있을 거야."라고 패티가 말했습니다.

"와, 바쁘다 바빠."라고 존은 생각했습니다.

 

"아니, 그건 옳지 않아."라고 John은 생각했습니다.

그는 이것에 대해 생각했고, 마침내 자신 있게 느낀 것이 바로 답이라고 여겼는데, 이는 특히 수업에서 Coleman 교수가 언급한 내용을 살펴본 후였습니다. 그는 Frank에게 연락했고, 둘은 Mike와 Zoom 통화를 하여 문제를 논의했습니다.

소개 후 Zoom 통화에서, Frank는 Mike에게 로트에 결함이 없는지 확인하는 방법을 물었습니다.

Mike는 "이것을 여러분에게 설명할 기회를 갖게 되어 기쁩니다."라고 말했습니다.

John에게는 그의 어조가 거만해 보였다.

Mike는 계속해서 "글쎄, 20 중 19가 95 %라는 데 동의할 것입니까?"라고 물었습니다.

"네." Frank와 John이 대답했습니다.

"따라서 20개의 샘플에서 결함이 없으면 95%의 신뢰도로 로트에서 결함이 0인 것입니다. 20개의 샘플에서 하나의 결함이 있다면, 로트에 결함이 전혀 없다고 주장할 수는 없습니다.”라고 Mike가 말했습니다.

" Mike, 2000개의 구슬 중 1개의 결함(빨간색 구슬)을 찍은 사진을 보세요."(도표 1 참조) "컨테이너 왼쪽에 있는 20개의 구슬을 선택했다면 결함이 비율은 0.0005(2000년에 1개)입니까?”라고 John이 물었습니다.

도표 1 빨간 구슬은 2000개 중 하나의 "결함"입니다.

긴 침묵이 흘렀습니다.

" Mike, 당신 대답은 무엇입니까?"라고 Frank가 물었습니다.

여전히 대답이 없습니다.

“결함 0을 보장할 수 있는 유일한 방법은 모든 샘플을 평가하는 것뿐입니다.”라고 John이 말했습니다.

Mike는 "당신은 문제를 거기 있는 사진과 혼동하고 있는 것뿐입니다."라고 말했습니다.

“아주 분명한 것 같습니다,”라고 Frank가 말했습니다.

“당신 같은 아이비리그 유형의 사람들은 다 똑같아요. 어떤 멍청이가 내 말이 옳다는 걸 알 수 있을 때 당신은 문제를 엄청나게 큰 소리로 혼동합니다.”라고 Mike가 소리쳤습니다.

일부 욕설이 뒤따랐고, Frank는 Mike의 Zoom 피드를 잘라냈습니다.

"당신의 요점을 알겠어요."라고 Frank가 말했습니다. "하지만, 그것을 뒷받침할 수 있는 수학적 계산을 알려줄 수 있습니까?"

"물론이죠."라고 John이 대답했습니다.

“불량률이 0이 아니라 매우 낮은 경우, 예를 들어 아주 많은 인구에서 10,000분의 1인 경우를 생각해 보겠습니다. 첫 번째 표본을 선택했을 때, 양품일 확률은 0.9999(10,000-1)/10000)입니다. 두 번째가 양품일 확률은 얼마나 됩니까?” John이 물었습니다.

"아, 어디 보자...0.9999, 맞죠?" Frank가 대답했습니다.

"하지만, 두 사건의 발생 확률은 얼마입니까?" John 이 물었습니다.

"잠깐만요. 몇 년 전에 들었던 통계 수업이 기억납니다. 0.9999 x 0.9999입니다."라고 Frank가 의기양양하게 말했습니다.

"그리고 세 번째가 연속 양품일 확률은요?" John이 다시 물었습니다.

Frank는 "0.99993"이라고 자신 있게 대답했습니다.

"따라서 우리가 너무 많이 샘플링한다고 가정하고 n번이라고 합시다. 그러면, 0.9999n = 0.05입니다. 이것이 우리에게 무엇을 말해줍니까?”라고 John이 물었습니다.

Frank가 "흠, ....."하고 말했죠.

"글쎄요, 불량률이 10,000분의 1이라면 이런 일이 일어날 확률은 얼마나 될까요?" John이 물었습니다.

"잠깐만요, 0.05~5%의 확률로만 일어날 것입니다." Frank는 흥분해서 대답했습니다.

"그래서, 우리가 불량률을 모른다고 가정해 봅시다. 만약 우리가 n개를 샘플링했고 불량이 없다면 무엇이라고 말할 수 있을까요?"라고 John이 물었습니다.

Frank 는 당황했습니다.

"내가 말할게요, 그것에 대해 생각하고 내일 다시 보죠. 벌써 오후 6시가 다 되어가네요. 아, 그러면, n이 얼마가 되는지 보시죠. 오전 10시에 Zoom하죠."라고 John이 제안했습니다.

시간은 빨리 흘렀고 John과 Frank는 다시 Zoom하고 있었습니다.

" John, 당신이 나를 죽일 뻔 했어요. 잠을 잘 못 잤거든요. 하지만 제 통계 책을 다시 보고 Youtube를 잠깐 보니 잠이 깬 것 같아요."라고 Frank가 시작했습니다.

"글쎄요, 우리가 불량률을 모르고 1/10,000만큼 좋은지 확인하고 0.9999n = 0.05가 되도록 n을 샘플링했다면, 0.95(1 – 0.05) 확신을 가지고 다음과 같이 말할 수 있는데, 불량률은 1/10,000 이하였습니다.”라고 Frank가 의기양양하게 말했습니다.

“맞습니다,”라고 John이 외쳤습니다.

"그런데, n이 뭐죠?" John이 물었습니다.

“그게 내가 갇힌 곳입니다. 0.9999n = 0.05라는 방정식이 있지만 n은 풀 수 없습니다.”라고 Frank가 낙담한 표정으로 말했습니다.

"힌트: 로그”라고 John이 대답했습니다.

"바로 그거예요, 알겠어요."라고 Frank가 열성적으로 말했습니다.

Frank는 계산기로 몇 분 동안 계산한 후, 도표 2에서처럼 솔루션을 찾았습니다.

도표 2 불량 계산

"따라서, 불량률이 10,000분의 1 이하라는 것을 95% 신뢰도라고 보여주려면 거의 30,000개의 부품들을 샘플링하고 불량을 찾아야 합니다."라고 Frank가 말했습니다.

"방정식을 보면 불량률이 0인지, 0.9999가 1로 대체되고 로그 1이 0인지 알 수 있으므로, 무한 샘플이 필요합니다."라고 John이 말했습니다.

"따라서, 0개의 결함을 표시하는 유일한 방법은 모든 부품을 샘플링하는 것입니다."라고 Frank는 말했습니다.

"맞아요!"라고 John이 대답했습니다.

감사합니다,

론 박사