Das Paradoxon vom Falsch-Positiven

Hallo Leute,

Lassen Sie uns schauen, wie es Patty geht......

Patty war intensiv damit beschäftigt eine Vorlesung zum   Bayes'schen Theorem vorzubereiten.  Sie war schon immer der Meinung, dass dieses Theorem das tiefgreifendste in der Wahrscheinlichkeit und Statistik war.  Sie konnte sich an eine tatsächliche Anwendung erinnern, als ihre beste Freundin den Tinetest auf Tuberkulose vor ihrer Hochzeit durchführen lies - und positiv getestet wurde.  Es hieß, dass der Test bei der Feststellung von TB zu 99,9 % genau sei. Ihre Freundin war am Boden zerstört, als sie erfuhr, dass sie offensichtlich unter dieser uralten und gefürchteten Krankheit litt.  Weitere Untersuchungen deckten auf, dass die Zahl 99,9 % eher als “wenn Sie die Krankheit haben, wird dieser Test sie zu 99,9 % aufdecken” zu verstehen ist.  Es gab eine wichtige Zahl, die nicht genannt wurde: Falsch-Positiv.  Dieser Anteil lag bei 5 %.  Bei so wenigen Leuten mit TB würde ein Falsch-Positiv-Anteil von 5 % andeuten, dass beinahe jeder, der positiv auf TB getestet wurde, Falsch-Positiv wäre und nicht unter TB leiden würde.  Und so war es zur Erleichterung vieler auch bei ihrer Freundin.  Diese Situation ist ein Beispiel für das Paradoxon vom Falsch-Positiven.

Da Patty tief in Gedanken versunken war, schreckte sie vom Klingeln des Telefons auf.  Sie betrachtete die Vorwahl und den Rest der Nummer und wusste, dass es ihre Alte Firma ACME war.  Sie nahm den Hörer ab.

“Professor Coleman”, antwortete Patty. Der Klang ihrer Worte gefiel ihr.

“Hey Patty! Hier ist Reggie Pierpont!”, entgegnete die heitere Stimme.

Patty sank das Herz in die Hose.  Reggie war ein netter Kerl, aber er geriet ständig in Dinge, von denen er nichts verstand und überzeugte das Management häufig davon, teure und ineffektive Strategien zu verfolgen.  Er war so überzeugend.

“Reggie, was gibt's?”, sagte Patty halbherzig.

“Nun, Madigan bestand darauf, dass ich dich zuerst anrufe, bevor wir ein paar neue Prüfgeräte bestellen.  Ich denke, dass es reine Zeitverschwendung ist, aber ich halte mich an die Anweisungen”, sagte Pierpont.

“Worum geht es genau?”,  fragte Patty.

“Wir haben einen Vertrag, laut dem wir hunderttausend Druid Handys pro Woche herstellen sollen.  Wir sind u

“Beeindruckend” sagte Patty aufrichtig.

“Ich möchte ein paar Prüfgeräte bestellen, die ein defektes Handy mit einem schnellen, funktionellen Test und einer Gewissheit von 99,9 % identifizieren können.  Die Prüfgeräte sind sehr teuer, weshalb Madigan vor dem Kauf eine Plausibilitätsprüfung verlangt.  Die andere wichtige Information ist, dass wir für jedes defekte Handy, das wir ausliefern, eine hohe Strafe zahlen müssen”, fuhr Reggie fort.

“Nun, bei einer hohen Strafe ist 99,9 % die richtige Zahl. Was macht ihr mit den Geräten, die das Prüfgerät als defekt erkennt?”,  fragte Patty.

“Nun, zum Glück sind die Ausbeuten hoch.  Die Handys sind so komplex, dass wir ein recht langwieriges Verfahren haben, um den Fehler zu finden und ihn zu reparieren. Alleine das Finden eines Fehlers kann zwischen 5 und 10 $ an verschwendeter Arbeitszeit kosten, aber wenn man den Wert eines Handys bedenkt, ist es das wert.  Wie ich bereits sagte, zum Glück ist die Ausbeute hoch, weshalb wir nicht all zu viele Geräte haben, die dieses Verfahren durchlaufen müssen”, fuhr Pierpont fort.

“Wie sieht es mit Falsch-Positiv beim Prüfgerät aus?”,  fragte Patty.

“Sollte kein Problem sein. Wie gesagt, das Prüfgerät ist zu 99,9 % genau”, antwortete Pierpont.

Patty wusste, dass Pierpont nicht verstand, worauf sie hinaus wollte, aber sie wollte ihn nicht bloßstellen……nicht zu sehr.

“Reggie, laut deiner Aussage, wird ein Gerät vom Prüfgerät zu 99,9 % erkannt, wenn es defekt ist.  Was ich wissen will, ist, wie oft sagt das Prüfgerät, dass ein Gerät fehlerhaft ist, obwohl es in Ordnung ist? Diese Situation nennt man üblicherweise 'Falsch-Positiv'”, entgegnete Patty.

“Nun, das wäre 100 – 99,9 oder 0,1 %”, antwortete Pierpont.

“Das ist der Prozentsatz an fehlerhafter Geräte, die als fehlerfrei gewertet werden. Diese Geräte werden häufig als 'Flüchtlinge' bezeichnet. Den Falsch-Positiv-Anteil kann man nur durch einen Test bestimmen. Man kann ihn nicht anhand der Zahl 99,9 % festmachen”, fuhr Patty fort.

Am anderen Ende der Leitung herrschte Stille.

“Was muss ich tun, um den Falsch-Positiv-Anteil zu erhalten?”,  fragte Reggie.

“Du musst etwa 1000 fehlerfreie Geräte testen und schauen, bei wie vielen das Prüfgerät einen Defekt meldet”, sagte Patty.

“Das mache ich mit dem Ioaner-Prüfgerät, den uns der Prüfgerätehersteller verwenden lässt und melde mich dann wieder bei dir”, antwortete Pierpont.

Patty legte den Hörer auf.  Sie fand es interessant, dass Pierponts Problem so viel mit dem Bayes'schen Theorem und dem Falsch-Positiv ihrer Freundin beim Tinetest zu tun hatte.

Es vergingen zwei Tage und Patty, Rob und Pete kamen gerade vom Mittagessen mit dem Professor zurück.  Sie trafen sich alle recht häufig mit ihm, um technische Probleme mit ihm zu diskutieren. Deshalb luden sie ihn zum Mittagessen ein.

Als sie in ihr Büro lief, sprach Pete sie an.

“Hat sich Reggie Pierpont jemals wieder bei dir gemeldet?”,  fragte Pete.

“Nein. Vielleicht bin ich aus dem Schneider”, witzelte Patty.

Genau in diesem Moment klingelte ihr Telefon. Es war Pierpont.

“Hey Reggie! Wie geht's?”,  fragte Patty enthusiastischer als sie sich fühlte.

“Nun, das Prüfgerät gibt an, dass 5 % der fehlerfreien Geräte fehlerhaft seien. Ich schätze, nun wirst du mir sagen, dass das ein Problem ist”, begann Peirpont.

“Was ist, wenn du sie noch einmal mit dem Prüfgerät testest?”,  fragte Patty.

“Das IST das Ergebnis wenn sie zwei Mal oder häufiger getestet wurden! Wenn wir sie nur ein Mal testen, lag der Anteil bei 7 %”, seufzte Reggie.

“Nun, schauen wir uns die Zahlen an.  Ihr stellt 100000 Geräte pro Woche mit einem Falsch-Positiv-Anteil von 5 % her, das sind 5000 Geräte. Euer Ertragsverlust ist 1 % oder 1000 Geräte. Das heißt, ihr habt 6000 Geräte, bei denen das Prüfgerät angibt, dass sie fehlerhaft seien, obwohl es tatsächlich nur 1000 sind.  Diese Zahlen liegen etwas daneben. Das Bayes'sche Theorem würde uns die genauen Zahlen liefern, aber sie liegen nahe dran.   Da euer Verfahren, die Fehler nach dem Prüfgerät zu analysieren, mindestens 5 $ pro Gerät kostet, würdet ihr 25000 $ pro Woche aufgrund von Falsch-Positiven verlieren”, erklärte Patty.

“Zeit für eine neue Strategie”, seufzte Pierpont.

Patty und Pete stimmten zu, Pierpont bei der Arbeit mit den Prüfgerätelieferanten zu helfen, um eine bessere Strategie zu entwickeln.

Nachwort:

Patty und Pete halfen Pierpont dabei, eine effektive Teststrategie zu entwickeln, indem sie mit einem Prüfgerätelieferanten zusammenarbeiteten.  Weder Patty noch Pete kannten Reggie zuvor sonderlich gut..., aber nach dieser Zusammenarbeit sind sie recht eng zusammengewachsen.  Reggie engagierte sich ziemlich währenddessen und schien dabei auch einiges zu lernen. Patty konnte ein paar der Daten in ihrer Vorlesung nutzen. 

Ein paar Wochen später hatte sie eine wunderschöne Karte im Briefkasten. Sie öffnete sie. Es stand geschrieben: "Liebe Patty, Danke für all deine Hilfe.  Ohne deine und Petes Hilfe bei unserer Teststrategie hätten wir es nicht geschafft.  Liebe Grüße, Dein treuer Schüler, Mike Madigan."

Patty saß ein wenig ein Kloß im Hals.

Bis bald!

Dr. Ron

Webseite für das Bild: http://www.hgpauction.com/wp-content/uploads/2012/04/Electronic-Test-1-1024x716.jpg

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