Berechnung des p-Wertes anhand des t-Werts

Leute,

bei kleinen Stichprobengrößen, sagen wir weniger als 200, muss die Normalverteilung korrigiert werden. William Sealy Gossett entdeckte diese Korrektur während seiner Arbeit in einer Guinness-Brauerei. Die korrigierte Verteilung wird als studentische T-Verteilung bezeichnet, da Gossett sie unter dem Pseudonym „Student“ veröffentlichte. Heute wird „studentsche“ in der Regel weggelassen und die Verteilung als „t-Verteilung“ bezeichnet.

Eine der Herausforderungen der t-Verteilung besteht darin, dass für jeden Freiheitsgrad (Degree of Freedom, DoF) der Daten eine eigene Verteilung existiert. Bei der t-Verteilung sind die Freiheitsgrade einfach der Stichprobenumfang minus 1.

Nehmen wir beispielsweise an, wir haben eine Stichprobe von Daten zur Übertragungseffizienz von Lotpaste. Die Stichprobengröße beträgt 100 und wir möchten herausfinden, ob wir sagen können, dass der Mittelwert 100 % beträgt. Wir analysieren die Daten mit Minitab (siehe Abbildung 1) und stellen fest, dass der Mittelwert 105,40 und der Standardfehler des Mittelwerts 1,03 entspricht.

Abbildung 1. Minitab-Analyse der obigen Daten.

Anhand eines Hypothesentests mit H₀ = 100 und H₁ ≠ 100 sehen wir, dass wir die Nullhypothese mit einem t-Wert von 5,24 für diesen zweiseitigen Test ablehnen. Minitab sagt uns, dass p = 0,000. Ein Blick auf die t-Tabelle (siehe Abbildung 2) hilft uns nicht weiter, da die Tabelle für einen DoF = 100 (nahe an unserem 100-1 = 99) nur bis zu t = 3,39 reicht.

Abbildung 2. Tabelle der t-Werte.
Zur Lösung dieses Problems habe ich ein Excel®-Softwaretool entwickelt, das den p-Wert für ein beliebiges t mit einer bestimmten DoF berechnet. In unserem Fall mit t = 5,24 (eingegeben in Zelle B2) und DoF = 99 (Zelle C2) beträgt der p-Wert 9,708 x 10^-7 (Zelle F3). Siehe Abbildung 3. Der p-Wert kann so ausgelegt werden, dass wir bei Ablehnung der Nullhypothese nur etwa einmal bei 1 Million Mal falsch liegen würden (9,708 x 10^-7ist ungefähr gleich 10^-6).

Abbildung 3. Ausgabe der Excel®-Tabelle zur Berechnung der t- und p-Werte.

Die Excel®-Tabelle kann auch den t-Wert für den p-Wert und die Anzahl der DoF berechnen. Wenn Sie also p = 9,708 x 10^-7 (Zelle B7) und DoF = 99 (Zelle C7) eingeben, erhalten Sie t = 5,24 (Zelle F7), wie in Abbildung 3 zu sehen ist. Hinweis: Excel® rundet die Zelle B7 auf 0,000001 auf.

Wenn Sie eine Kopie dieser Tabelle wünschen, schicken Sie mir bitte eine E-Mail an rlasky@indium.com.
 

Danke,

Dr. Ron